解：（1）∵点（n，S
n）在函数f（x）=x
2+x的图象上，
∴S
n=n
2+n．
a
1=S
1=2，当n≥2时，a
n=S
n-S
n-1=2n（n=1时也成立）．
∴a
n=2n（n∈N
*）．
（2）
=
=
．
依题意，只要
．
（3）数列{a
n}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b
100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b
2，b
4，b
6，…，b
100，…组成一个首项b
2=4+6=10，公差d=12
的等差数列．
所以b
100=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求b
n的值．
数列{a
n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N
*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20．
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．
且b
4=14+16+18+20=68．
当n=4k时，b
n=68+80（k-1）=20n-12．
分析：（1）由点（n，S
n）在函数f（x）=x
2+x的图象上可得S
n=n
2+2n利用递推公式
可求；
（2）根据（1）求出
，利用裂项相消法求出A
n即可求出使得不等式A
n＜a对一切n∈N
*都成立的a；
（3）由分组规律知，b
2，b
4，b
6，…b
100组成首项为b
2=4+6=10，公差d=12的等差数列，利用等差数列的通项公式可求；
（4）根据题意，举特例当n是4的整数倍时，求b
n的值．根据依次按1项，2项，3项，4项循环，可知数列{a
n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…，根据它们的特点即可求得结果．
点评：本题主要考查了利用递推公式
求数列的通项公式，注意不要漏掉对n=1的检验
，以及裂项相消求和法，还考查了等差数列的通项公式的应用，同时考查运算能力，属中档题．
，使得不等式An＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
