Question

（2013•甘肃三模）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．

Answer 1

分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；
（II）利用（I）的结论可得BP=

15

4

，再利用切割线定理可得PA²=PB•PC，即可得出PA．

解答：（I）证明：∵DE²=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴

EA

EF

=

EP

ED

，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE²=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴3²=2EC，∴CE=

9

2

．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴

9

2

×3=2EP，解得EP=

27

4

，
∴BP=EP-EB=

27

4

-3=

15

4

．
∵PA是⊙O的切线，∴PA²=PB•PC，
∴PA2=

15

4

×(

27

4

+

9

2

)，解得PA=

15 3

4

．

点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．