Question

（2011•奉贤区二模）（文）设函数f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）当a=2，解不等式f（x）＞9
（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）=2x+

4

x

＞9，即可得到

x＞0 2x2-9x+4＞0

，再利用一元二次不等式的解法得到答案．
（2）利用基本不等式可得：f(x)min=4

a

，所以由f（x）＞b²恒成立可得16a＞b⁴．首先计算出基本事件总数，再利用列举的方法得到此事件包含的基本事件，进而根据等可能事件的概率公式得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：a=2，
所以可得f（x）=2x+

4

x

＞9，
所以

x＞0 2x2-9x+4＞0

（3分）
解得：x∈(0，

1

2

)∪(4，+∞)（6分），
所以不等式f（x）＞9的解集为：(0，

1

2

)∪(4，+∞)．
（2）根据题意并且结合基本不等式可得：f(x)≥4

a

，所以f(x)min=4

a

（8分），
因为f（x）＞b²恒成立，
所以f（x）_min＞b²即可，即16a＞b⁴（10分）．
由题意可得：基本事件总数为6×6=36，
当a=1时，b=1；
当a=2，3，4，5时，b=1，2，；
当a=6时，b=1，2，3；
目标事件包含的基本事件的个数为1+8+3=12．
所以f（x）＞b²恒成立的概率，即16a＞b⁴的概率为

1

3

．（14分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握基本不等式、一元二次不等式的解法，以及恒成立问题（即求函数的最值），此题考查了等可能事件的概率，解决此种问题一般利用列举法或者借助于排列与组合，此题属于中档题，高考命题的热点之一．