Question

17．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1（x∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，f（A）=$\frac{1}{2}$，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由f（A）=$\frac{1}{2}$，可得$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，利用A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$．于是sinB+sinC=sinB+$sin（\frac{2π}{3}-B）$=$\sqrt{3}$$sin（B+\frac{π}{6}）$，再利用$0＜B＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$+cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{1}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）∵f（A）=$\frac{1}{2}$，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$（2A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$．
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{3}$．
∴sinB+sinC=sinB+$sin（\frac{2π}{3}-B）$
=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{3}{2}sinB$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB
=$\sqrt{3}$$sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴$\sqrt{3}$$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$，
∴sinB+sinC的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式与倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．