【题目】如图,在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC=,求△ADC的面积.
【答案】(1)∠BAC=.(2) (1+)
【解析】 试题分析:(1)设,可得,即可求解的值,得到结论;
(2)设,得,在中,由正弦定理,得出,进而得到的值,利用两角和的正弦函数,即可求解结论。
试题解析:
(1)设∠BAD=α,∠DAC=β.
因为AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2,
所以tanα=,tanβ=,所以tan∠BAC=tan(α+β)===1.
又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=.
(2)设∠BAD=α.
在△ABD中,∠ABC=,AD=6,BD=3.
由正弦定理得=, 解得sinα=.
因为AD>BD,所以α为锐角,从而cosα==.
因此sin∠ADC=sin(α+)=sinαcos+cosαsin
= (+)=.
△ADC的面积S=×AD×DC·sin∠ADC
=×6×2×= (1+).
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【题目】设函数f(x)在定义域[﹣1,1]是奇函数,当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣3x2 .
(1)当x∈[0,1],求f(x);
(2)对任意a∈[﹣1,1],x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,求θ的取值范围.
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【题目】不等式(x+2)(x﹣1)>0的解集为( )
A.{x|x<﹣2或x>1}
B.{x|﹣2<x<1}
C.{x|x<﹣1或x>2}
D.{x|﹣1<x<2}
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【题目】已知函数f(x)= (a、b为常数),且f(1)= ,f(0)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在定义域上的奇偶性,并证明;
(3)对于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:几何证明选讲
如图,△ABC的顶点A,C在圆O上,B在圆外,线段AB与圆O交于点M.
(1)若BC是圆O的切线,且AB=8,BC=4,求线段AM的长度;
(2)若线段BC与圆O交于另一点N,且AB=2AC,求证:BN=2MN.
B.选修4—2:矩阵与变换
设a,b∈R.若直线l:ax+y-7=0在矩阵A= 对应的变换作用下,得到的直线为l′:9x+y-91=0.求实数a,b的值.
C.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l: (t为参数),与曲线C: (k为参数)交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4—5:不等式选讲
设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
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【题目】已知曲线C的参数方程是 (α为参数),直线l的参数方程为 (t为参数),
(1)求曲线C与直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|= ,求实数m的值.
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【题目】设集合A={x|y=log2(x﹣1)},B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R}
(1)求集合A,B;
(2)若集合C={x|2x+a<0},且满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
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【题目】定义:分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数,我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和.例如:1= + + ,1= + + + ,1= + + + + ,…,依此拆分法可得1= + + + + + + + + + + + + + ,其中m,n∈N* , 则m﹣n=( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6
D.﹣8
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣kx,x∈R(e是自然对数的底数).
(1)若k∈R,求函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,讨论函数f(x)在(﹣∞,4]上的零点个数.
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