Question

【题目】已知数列的前项和为，，是6与的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,.

【解析】

试题分析：(1)解法一:根据是与的等差中项,利用等差中项得到,当时有,-得:,从而可得数列通项；解法二:根据是与的等差中项,利用等差中项得到,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列,从而求得,进而利用得到数列的通项；(2)根据(1)的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前项和,代入化简,讨论的奇偶发现,为奇数时,恒成立；为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数.

试题解析：（1）解法一：因为是6与的等差中项，

所以，即，

当时有

得，即对都成立

又根据有即，所以

所以.所以数列是首项为1，公比为的等比数列.

解法二：因为是6与的等差中项

所以，即，

由此得，

又，所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

得，即，

所以，当时，，

又时，也适合上式，所以.

（2）根据（1）的结论可知，

数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以其前项和为.

原问题等价于恒成立.

当为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数不等式恒成立；

当为偶数时，等价于恒成立，

令，有，则等价于在恒成立，

因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧，

所以当时，二次函数为增函数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且最大值为11.