Question

已知抛物线y²=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在这样的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），根据抛物线的方程可得到F（a，0），然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和，即可得到|MF|+|NF|的值．
（2）先假设存在a满足条件，根据2|PF|=|MF|+|NF|，再由抛物线的定义可得到|PF|=4x₀=4-a，将x₀代入圆的方程，求出的y₀值，故可得到a的值，但与点P是弦MN的中点得到的a的范围矛盾，可得到结论．

解答：解：（1）F（a，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由 {，

y2=4ax (x-a-4)2+y2=16

，消去y，得
⇒x²+2（a-4）x+（a²+8a）=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x₁+a）+（x₂+a）=8．
（2）假设存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，即2|PF|=|MF|+|NF|⇒|PF|=4x₀=4-a，
∴

(x0-a)2+y02=16⇒(4-2a)2+y02=16⇒y02=16a-4a2

又

y02=( y1+y2 2 )2= y12+y22+2y1y2 4

=

4ax1+4ax2+2 4ax1 4ax2

4

=a(x1+x2)+2a

x1x2

=2a(4-a)+2a

a2+8a

⇒
2a(4-a)+2a

a2+8a

=16a-4a²⇒a=2，
与

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0 y02＞0

⇒0＜a＜1矛盾．
∴假设不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．

点评：本题主要考查抛物线的基本性质、等差关系的确定等，考查综合运用能力和计算能力，属于中档题．