Question

【题目】某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）（）满足（ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

（1）将2017年该产品的利润（单位：万元）表示为年促销费用（单位：万元）的函数；

（2）该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?

Answer 1

【答案】（1）（）, （2）该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元

【解析】试题分析：（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m=0时，x=1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；

（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．

试题解析：

（1）由题意知，当m=0时，x=1，

∴1=3﹣k，即k=2，

∴；

每件产品的销售价格为1.5×（万元），

∴利润函数y=x[1.5×]﹣（8+16x+m）

=4+8x﹣m=4+8（3﹣）﹣m

=﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．

（2）因为利润函数y=﹣[+（m+1）]+29（m≥0），

所以，当m≥0时，+（m+1）≥8，

∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．

所以，该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．