分析 (1)根据线面垂直的性质定理证明AB⊥平面BCDE即可证明CB⊥AB.
(2)若F为AC中点,取BC的中点G,由DF∥平面ABE,得到DG∥BE,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求出二面角的平面角.
解答 证明:(1)∵BE=AB=1,AE=$\sqrt{2}$,
∴满足BE2+AB2=AE2,即三角形ABE是直角三角形,
则AB⊥BE,
∵平面ABE⊥平面BCDE,
∴AB⊥平面BCDE,
∵BC?平面BCDE,
∴AB⊥BC,即CB⊥AB.
解:(2)∵EB=AB=$\frac{1}{2}$CB=1,
∴CB=2,
∵CB⊥BE,
∴建立以B为坐标原点,BC,BA,BE分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
∵F为AC中点,DF∥平面ABE,
∴取BC的中点G,连接GF,DG,
则GF∥AB,GF∥平面ABE,
∵GF∩DF=F,
∴平面DGF∥平面ABE,
则DG∥BE,DE=GB=1,
则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,1,0).E(0,0,1),F(1,$\frac{1}{2}$,0),
D(1,0,1),
则平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
设ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{AC}$=(2,-1,0),$\overrightarrow{CD}$=(-1,0,1),
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=2x-y=0且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-x+z=0,
令x=1,则y=2,z=1,即$\overrightarrow{n}$=(1,2,1),
$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
即二面角A-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
点评 本题主要考查空间线面垂直的性质的应用以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
第一次月考物理成绩 | 第二次月考物理成绩 | |
学生甲 | 80 | 85 |
学生乙 | 81 | 83 |
学生丙 | 90 | 86 |
A. | 甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86 | |
B. | 在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高 | |
C. | 在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定 | |
D. | 在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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