Question

已知椭圆x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求F、B、C的坐标，求直线FC、BC的中垂线方程，解出P的坐标，m+n＞0，得到a、b、c关系，求出e的范围．
（2）直线AB与⊙P能相切，则切点为B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之积为-1，判断即可．

解答：解：（1）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为 x=

1-c

2

，
y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)．联列方程组，
解出

x= 1-c 2 y= b2-c 2b

∴m+n=

1-c

2

+

b2-c

2b

＞0，
即b-bc+b²-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
从而b²＞c²即有a²＞2c²，
∴e2＜

1

2

．又 e＞0，
∴0＜e＜

2

2

．
（2）直线AB与⊙P不能相切．由k_AB=b，kPB=

b- b2-c 2b

0- 1-c 2

=

b2+c

b(c-1)

．
如果直线AB与⊙P相切，则  b•

b2+c

b(c-1)

=-1．b²+c²=1
解出c=0或2，与0＜c＜1矛盾，
所以直线AB与⊙P不能相切．

点评：本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，难度较大，容易出错．