精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线f(x)=ax2+bx+
14
与直线y=x相切于点A(1,1).
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.
分析:(Ⅰ)根据抛物线y=f(x)与直线y=x相切于点A(1,1)建立方程组,解之即可求出a和b,从而求出函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)将x-t代入解析式,得到不等关系(
x
-1)
2
≤t≤(
x
+1)
2
(1≤x≤9),从而t≤[(
x
+1)
2
]min=4且t≥[(
x
-1)
2
]max=4,即可求出实数t的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)依题意,有
f(1)=a+b+
1
4
=1
f′(1)=2a+b=1
?a=
1
4
,b=
1
2

因此,f(x)的解析式为f(x)=(
x+1
2
)
2
;(6分)
(Ⅱ)由f(x-t)≤x(1≤x≤9)得(
x-t+1
2
)
2
≤x(1≤x≤9),解之得
(
x
-1)
2
≤t≤(
x
+1)
2
(1≤x≤9)
由此可得
t≤[(
x
+1)
2
]min=4且t≥[(
x
-1)
2
]max=4,
所以实数t的取值范围是{t|t=4}.(12分)
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数解析式和函数恒成立等有关知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线f(x)=ax2+bx+
14
的最低点为(-1,0),
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线f(x)=2x2-x上一点P(3,f(3))及附近一点P'(3+△x,f(3+△x)),则割线PP′的斜率为kPP′=
f(3+△x)-f(3)△x
=
2△x+11
2△x+11
,当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的一般方程为
11x-y-18=0
11x-y-18=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线f(x)=2x2-x上一点P(3,f(3))及附近一点P′(3+△x,f(3+△x)),则割线PP′的斜率为kPP′=
f(3+△x)-f(3)△x
=
2△x+11
2△x+11
,当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的斜率为
11
11

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线f(x)=ax2+bx+c(x>0,a>0)的对称轴为x=1,则f(2x)与f(3x)的大小关系是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案