Question

已知向量

a

=(x，1-x)，

b

=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．
（1）是否存在x，使得

a

⊥

b

或

a

∥

b

？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．
（2）求函数f(x)=

a

•

b

在区间[

1

3

，

3

4

]上的最值．（参考公式[lnf(x)]′=

f′(x)

f(x)

）

Answer 1

分析：（1）通过x=

1

2

，求出

a

，

b

的关系，得到

a

∥

b

，计算

a

•

b

说明不垂直．
（2）求出向量的数量积，化简后求出函数的导数，利用导数值的符号求出函数的单调区间，求出函数的最值．

解答：解：（1）例如，当x=

1

2

时，

a

=(

1

2

，

1

2

)，

b

=(-ln2，-ln2)=-2ln2•

a

，

a

∥

b

因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.

a

•

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，从而

a

与

b

不垂直．
（2）函数f(x)=

a

•

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)
f′(x)=1nx+x•

1

x

-ln(1-x)+(1-x)•

-1

1-x

=lnx-ln(1-x)，
令f′(x)=0得x=

1

2

当

1

3

≤x＜

1

2

时，x＜

1

2

＜1-x，f^′（x）＜0，f（x）在区间[

1

3

，

1

2

)上是减函数：
当

1

2

＜x≤

3

4

时，1-x＜

1

2

＜x，f^′（x）＞0，f（x）在区间(

1

2

，

3

4

]上是增函数；
所以f（x）在x=

1

2

时取得最小值，且最小值f(

1

2

)=-ln2，
又f(

1

3

)=f(

2

3

)＜f(

3

4

)=

3

4

ln

3

4

+

1

4

ln

1

4

=

3

4

ln3-21n2
故f（x）在x=

3

4

时取得最大值，且最大值f(

3

4

)=

3

4

ln3-2ln2．

点评：本题考查向量的数量积的应用，考查函数的导数的应用，求出函数的最值是解题的关键．