Question

10．已知函数f（x）=-x²+4（a+1）x-4a²-4a-2．
（1）若f（x）在[0，2]的最大值是2，求实数a的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的值；
（2）假设存在m，n，根据f（x）在[m，n]上的单调性讨论f（x）何时取得最大值和最小值，列出方程组，查看方程组是否有解．

解答 解：函数f（x）的对称轴为x=2（a+1）．
①当2（a+1）≤0即a≤-1时，f（x）在[0，2]上是减函数．
∴f_max（x）=f（0）=-4a²-4a-2=2，无解；
②当0＜2（a+1）＜2即-1＜a＜0时，f（x）在[0，2]上先增后减，
∴f_max（x）=f（2a+2）=-8a²-8a-2=2，无解；
③当2（a+1）≥2即a≥0时，f（x）在[0，2]上是增函数．
f_max（x）=f（2）=-4a²+4a+2=2，解得a=0或a=1．
综上：a=0或a=1．
（2）假设存在实数m，n（m＜n）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m，2n]，
（i）若f（x）在[m，n]上是增函数，则
$\left\{\begin{array}{l}{n≤2a+2}\\{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{n≤2a+2}\\{{m}^{2}-（4a+2）m+4{a}^{2}+4a+2=0}\\{{n}^{2}-（4a+2）n+4{a}^{2}+4a+2=0}\end{array}\right.$，
△=（4a+2）²-4（4a²+4a+2）=-4＜0
∴方程组无解．
（ii）若f（x）在[m，n]上是减函数，则
$\left\{\begin{array}{l}{m≥2a+2}\\{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2a+2}\\{-{m}^{2}+4（a+1）m-4{a}^{2}-4a-2=2n}\\{-{n}^{2}+4（a+1）n-4{a}^{2}-4a-2=2m}\end{array}\right.$，
整理得m+n=4a+3，
∵n＞m≥2a+2，
∴m+n＞4a+4，
即4a+3＞4a+4，与3＜4矛盾．
∴方程组无解．
（iii）若f（x）在[m，n]上先增后减，则
$\left\{\begin{array}{l}{m＜2a+2＜n}\\{f（2a+2）=2n}\\{f（m）=2m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜2a+2＜n}\\{f（2a+2）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$
∵f_max（x）=f（2a+2）=4a+2=2n，
∴n=2a+1．
∵2a+2＜n，
即2a+2＜2a+1，
与2＞1矛盾．
∴方程组无解．
综上所述，不存在符合条件的m，n使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m，2n]．

点评 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，最大值与存在性问题，以对称轴为分类标准是解决此题的关键，属于中档题．