Question

（本小题满分13分）

已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为．

   （Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求证：是和的等比中项．

Answer 1

（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为．

因为点在抛物线上，所以．

又点到抛物线准线的距离是，所以，可得．

所以抛物线的标准方程为．………………………………………………3分

（Ⅱ）解：点为抛物线的焦点，则．

依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为．

由   得．

因为过焦点，所以判别式大于零．

设，．

则，．……………………………………………………6分

．

由于，所以．

切线的方程为，          ①

切线的方程为．         ②

由①，②，得．…………………………………8分

则．

所以．………………………10分

（Ⅲ）证明：．

由抛物线的定义知 ，．

则

．

所以．

即是和的等比中项．…………………………………………………13分