Question

6．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）若a=2，求函数f（x）的极值；
（2）已知函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若此切线在点A处穿过y=f（x）的图象（即函数f（x）上的动点P在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式；
（3）若a＞0，函数g（x）=f（x）-ax有且只有一个零点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）若a=2，则f（x）=x²-2lnx，从而求导f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，从而确定函数的单调性与极值；
（2）二次求导f″（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$；从而可得f″（1）=2+a=0，从而解得；
（3）化简可得方程$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$有且只有一个解，再令h（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，求导h′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}+1）{x}^{2}-2x（lnx+x）}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$；从而确定函数的单调性与极值，从而解得．

解答 解：（1）若a=2，则f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故f（x）在x=1处有极小值f（1）=1-0=1；
（2）∵f（x）=x²-alnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，f″（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$；
∵切线在点A处穿过y=f（x）的图象，
∴f″（1）=2+a=0，
故a=-2；
故f（x）=x²+2lnx；
（3）函数g（x）=f（x）-ax=x²-alnx-ax，
∵函数g（x）=f（x）-ax有且只有一个零点，
∴方程x²-alnx-ax=0有且只有一个解，
∴方程$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$有且只有一个解，
令h（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}+1）{x}^{2}-2x（lnx+x）}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$；
故h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$=-∞，h（1）=$\frac{0+1}{1}$=1，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$=0；
故$\frac{1}{a}$=1；
故a=1．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的根的关系应用．