Question

20．如图，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．
（1）证明：AE∥平面BFD；
（2）求点F到平面BCD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接GF，由三角形的中位线可得到GF∥AE，再由线面平行的判定定理得证；
（3）用等体积法，V_D-ABE=V_E-ABD，求出F到平面BCD的距离．

解答 解：（1）连接FG，因为BF垂直平面ACE，BF⊥CE，EB=BC=2，F为EC的中点，
GF为△AEC的中位线，GF∥AE，所以AE∥平面BFD；
（2）用等体积法：V_D-ABE=V_E-ABD，DA⊥平面ABE，
DA⊥AE，矩形ABCD中，BC∥DA，BC⊥AE，又BC⊥BF，
所以AE⊥平面CBE，所以AE⊥CE，
在直角△CBE中，EB=BC=2，CE=$2\sqrt{2}$，
在直角△CAE中，EA=2，CE=$2\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{3}$，${V_{D-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{ABE}}•DA=\frac{4}{3}$，
${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{ABD}}•h=\frac{4}{3}$，h=$\sqrt{2}$．F为EC的中点，
F到平面ABC的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查线线，线面关系的转化，考查了线面平行，垂直的判定定理以及点到平面的距离，属中档题．