Question

定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+

b

4

（1）b=1时，求函数的最值；
（2）若函数是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将b=1代入可求出函数f（x）的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，分析出函数在区间[1，4]上的单调性，进而得到最值．
（2）若函数是单调函数，则区间[1，4]在对称轴x=b的同一侧，由此可得b的取值范围．

解答：解：（1）．当b=1时，f（x）=x²-2x+

1

4

，…（2分）
则函数f（x）在区间[1，4]单调递增，
所以f（1）=-

3

4

是最小值…（4分）
f（4）=

33

4

是最大值…．（6分）
（2）对称轴x=b，若函数是单调函数，…（8分）
…则b≥4或b≤1
故b的取值范围（-∞，1]∪[4，+∞）

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的判断与证明，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．