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    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1    ，（a＞b＞0）上的两点，已知向量
    m
    =（
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    ），
    n
    =（
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    ），且
    m
    •
    n
    =0    ，若椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，O为坐标原点：
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
    （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．
    （Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用
    m
    •
    n
    建立方程求得k．
    （Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=-y2，根据
    m
    •
    n
    =0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用
    m
    •
    n
    =0求得2b2-k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．
    解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=
    c
    a
    =
    		a2-b2
    a
    =
    		3
    2
    ?a=2，c=
    		3

    椭圆的方程为
    y2
    4
    +x2=1
    （Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+
    		3
    y=kx+
    		3
    y2
    4
    +x2=1
    ?(k2+4)x2+2
    		3
    kx-1=0
    x1+x2=
    -2
    		3
    k
    k2+4
    ，x1x2=
    -1
    k2+4

    由已知
    m
    •
    n
    =0得：
    x1x2
    b2
    +
    y1y2
    a2
    =x1x2+
    1
    4
    (kx1+
    		3
    )(kx2+
    		3
    )
    =(1+
    k2
    4
    )x1x2+
    		3
    k
    4
    (x1+x2)+
    3
    4

    k2+4
    4
    (-
    1
    k2+4
    )+
    		3
    k
    4
    •
    -2
    		3
    k
    k2+4
    +
    3
    4
    =0    ，解得k=±
    		2

    （Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，
    由
    m
    •
    n
    =0，则x12-
    y12
    4
    =0?y12=4x12
    又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+
    4x12
    4
    =1?|x1|=
    		2
    2
    ，|y1|=
    		2

    S=
    1
    2
    |x1||y1-y2|=
    1
    2
    |x1|2|y1|=1
    所以三角形的面积为定值
    （2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b
    y=kx+b
    y2
    4
    +x2=1
    ?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0
    得到x1+x2=
    -2kb
    k2+4
    x1x2=
    b2-4
    k2+4

    x1x2+
    y1y2
    4
    =0?x1x2+
    (kx1+b)(kx2+b)
    4
    =0    代入整理得：
    2b2-k2=4
    S=
    1
    2
    |b|
    		1+k2
    |AB|=
    1
    2
    |b|
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    |b|
    		4k2-4b2+16
    k2+4
    =
    		4b2
    2|b|
    =1
    所以三角形的面积为定值
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免有所遗漏．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
    （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
    1
    y1
    +
    1
    y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），已知点M的横坐标为
    1
    2
    ，且有Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），其中n∈N*且n≥2，
    （1）求点M的纵坐标值；
    （2）求s2，s3，s4及Sn；
    （3）已知an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
    （1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
    x2-x1x3-x2
    ；
    （2）求A、C两点之间距离的最小值．

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