Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线，交椭圆于两点，点在椭圆上，坐标原点恰为的重心，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由题意可得， ，运用勾股定理可得，再由椭圆的定义可得，由， ， 的关系可得，进而得到椭圆方程；（2）显然直线与轴不垂直，设， ， ，代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程

试题解析：（1）由题意可得，左焦点， ，所以，即，即， ，故椭圆的方程为；

（2）显然直线与轴不垂直，设， ， ，将的方程代入得，可得，所以的中点 ，由坐标原点恰为的重心，可得 ，由点在上，可得，解得或（舍），即，故直线的方程为．