Question

已知(x2-

1

5 x3

)5的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．

解答：解：∵(x2-

1

5 x3

)5的常数项为

C

2 5

×

1

5

=2
∴f（x）是以2为周期的偶函数
∵区间[-1，3]是两个周期
∴区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意
当k≠0时，∵r（-1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤

1

4

故答案为：(0，

1

4

]

点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．