Question

已知函数，其中，记函数的定义域为D．
（1）求函数的定义域D；
（2）若函数的最小值为，求的值；
（3）若对于D内的任意实数,不等式＜恒成立,求实数的取值范围．

Answer 1

(1)
(2) 
(3) (－∞，)∪[，+∞)

试题分析：解：（1）要使函数有意义：则有，解得
∴ 函数的定义域D为               2分
（2）
    
，，即，  5分
由，得，．       7分
（注：不化简为扣1分）
（3）由题知－x²+2mx－m²+2m＜1在x∈上恒成立，
－2mx+m²－2m+1＞0在x∈上恒成立，    8分
令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1，x∈，
配方得g(x)=(x－m)²－2m+1，其对称轴为x=m，
当m≤－3时， g(x)在为增函数，
∴g(－3)= (－3－m)²－2m+1= m²+4m +10≥0，
而m²+4m +10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤－3．       10分
②当－3＜m＜1时，函数g(x)在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数，
∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜     ∴－3＜m＜        12分
③当m≥1时，函数g(x)在为减函数，∴g(1)= (1－m)²－2m+1= m²－4m +2≥0，
解得m≥或m≤，    ∴－3＜m＜         14分
综上可得，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[，+∞)    16分
点评：解决的关键是利用函数的概念以及分离参数的思想来借助于二次函数的最值得到参数的范围。属于基础题。