Question

如果关于x的方程

|x|

x+4

=kx2有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．（1，+∞）
• D．(

  1

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：由于方程带有绝对值，故需要分x=0，x＜0，x＞0三类去掉绝对值，在每一类中再依据参数k值的不同，找出满足方程解的个数，最后综合三类情况即可得到方程

|x|

x+4

=kx2有4个不同的实数解的参数的范围．

解答：解：方程

|x|

x+4

=kx2①
（1）由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解
（2）当x＜0且x≠-2时方程①有解，则

-x

x+4

=kx2即kx²+4kx+1=0
当k=0时，方程kx²+4kx+1=0无解；
当k≠0时，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥

1

4

时，方程kx²+4kx+1=0有解．
设方程kx²+4kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-4，x₁x₂=

1

k

．
当k＞

1

4

时，方程kx²+4kx+1=0有两个不等的负根；
当k=

1

4

时，方程kx²+4kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+4kx+1=0有一个负根．
（3）当x＞0时，方程①有解，则

x

x+4

=kx2，kx²+4kx-1=0
当k=0时，方程kx²+4kx-1=0无解；
当k≠0时，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-

1

4

时，方程kx²+4kx-1=0有解．
设方程kx²+4kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-

1

k

．
∴当k＞0时，方程kx²+4kx-1=0有一个正根，
当k≤-

1

4

时，方程kx²+4kx+1=0没有正根
综上可得，当k∈（

1

4

，+∞）时，方程

|x|

x+4

=kx2有4个不同的实数解．

点评：本题考查由方程有四个解来求参数的范围，对思维的严密性要求很高，需要熟练运用分类讨论的思想，因为题目中有太多的不确定性，本题难度较大．