Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

分析：①直接根据f（0）=0以及f(

1

2

)=

2

5

，得到关于a，b的两个等式，求出a，b的值即可得到函数f（x）的解析式；
②直接利用单调性的定义证明即可得到证明其单调性；
③令log₂^x=t，直接利用其为奇函数把不等式转化为f（t-1）＜f（-t）；再根据其单调性即可得到不等式的解集．

解答：解：①依题意得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，即

b=0 1 2 a+b 1+ 1 4 = 2 5

，解得：

a=1 b=0

．
∴f（x）=

x

1+x2

．
②f（x）在（-1，1）上是增函数，
证明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
③令log₂^x=t，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
转化为f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜

1

2

．
∴0＜log₂^x＜

1

2

⇒1＜x＜

2

．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集为（1，

2

）．

点评：本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．解决问题的关键在于根据奇函数定义域内有0得到f（0）=0．