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已知动点P到定直线l:x=2的距离与点P到定点F之比为
(1)求动点P的轨迹c的方程;
(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上),过原点O作直线AB交(1)中轨迹C于点A、B,且直线AN、BN的斜率都存在,分别为k1、k2,问k1•k2是否为定值?
(3)若点M为圆O:x2+y2=4上任意一点(不在x轴上),过M作圆O的切线,交直线l于点Q,问MF与OQ是否始终保持垂直关系?
【答案】分析:(1)设出点P,利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比,建立方程求得x和y的关系式,即P的轨迹方程.
(2)设出N,A,则B的坐标可知,代入圆锥曲线的方程相减后,可求得k1•k2=-,证明原式.
(3)设M(x,y),则可表示出切线方程,与x=2联立求得Q的坐标表达式,则可分别表示出,进而利用向量的运算法则求得结果为0,判断出
解答:解:(1)设点P(x,y),依题意,有

整理,得
所以动点P的轨迹C的方程为

(2)由题意:设N(x1,y1),A(x2,y2),
则B(-x2,-y2
k1•k2==
=为定值.

(3)M(x,y),则切线MQ的方程为:xx+yy=4
得Q
=
=
所以:即MF与OQ始终保持垂直关系
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.当涉及直线的斜率的时候,点差法是常用的方法,能把直线的斜率和曲线方程,交点坐标,交点的中点坐标等向联系.
练习册系列答案
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已知动点P到定直线l:x=2
2
的距离与点P到定点F(
2
,0)
之比为
2

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