Question

已知函数f(x)=a·b^x的图象过点A(4,)和B(5，1).

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)记a_n=log₂f(n),n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0.

(3)对于(2)中的a_n与S_n，整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由.

Answer 1

解析:(1)由=a·b⁴,1=a·b⁵,得b=4，a=,?

故f(x)?=·4^x.?

(2)由题意a_n=log₂(·4ⁿ)=2n-10,S_n=(a₁+a_n)=n(n-9),a_nS_n=2n(n-5)(n-9),由a_nS_n≤0，可得(n-5)(n-9)≤0,即5≤n≤9.故n=5,6,7,8,9.?

(3)∵a₁S₁=64,a₂S₂=84,a₃S₃=72,a₄S₄=40.当5≤n≤9时，a_nS_n≤0;当10≤n≤22时，a_nS_n≤a ₂₂S ₂₂=9 724＜10⁴;当n≥23时，a_nS_n≥a ₂₃S ₂₃=11 592＞10⁴.因此，10⁴不是数列{a_nS_n}中的项.