Question

已知函数f(x)=a(x-

1

x

)-lnx．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g(x)=

e

x

，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f'（x），从而求出f'（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，函数f(x)=x-

1

x

-lnx，
∴f（1）=1-1-ln1=0.f′(x)=1+

1

x2

-

1

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1-1=1．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1，
即y=x-1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

a

x2

-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
即：ax²-x+a≥0得：a≥

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

恒成立．
由于x+

1

x

≥2，
∴

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是[

1

2

，+∞)．…（8分）
（III）∵g(x)=

e

x

在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）_min=1，x=1时，g（x）_max=e，即g（x）∈[1，e]
f'（x）=

ax2-x+a

x2

令h（x）=ax²-x+a
当a≥

1

2

时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又g(x)=

e

x

在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]
而f（x）_max=f（e）=a(e-

1

e

) -lne，g（x）_min=1，即）=a(e-

1

e

) -lne≥1
解得a≥

2e

e2-1

∴实数a的取值范围是[

2e

e2-1

，+∞）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．