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已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).
(I)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(II)命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;
命题Q:函数g(x)是减函数.
如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围.

解:(I)∵f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x)

解得g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+lg|a+2|

(II)∵函数f(x)=+lg|a+2|
在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,
∴(a+1)2≥-解得a≥-1或a≤-且a≠-2
又由函数g(x)=(a+1)x是减函数,得a+1<0,∴a<-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是:a≥-1或a≤-且a≠-2
命题Q为真的条件是:a<-1且a≠-2.
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题,∴a>-
分析:(I)根据题意可知f(x)=g(x)+h(x),再根据奇偶性求出f(-x),从而建立方程组,解之即可求出g(x)和h(x)的解析式;
(II)先对函数f(x)进行配方求出对称轴,根据在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,建立关系式可求出a的范围,然后根据函数g(x)=(a+1)x是减函数,建立关系求出a的范围,从而分别求出命题P为真的条件和命题Q为真的条件,最后根据命题P、Q有且仅有一个是真命题求出a的范围即可.
点评:本题主要考查了函数解析式的求解,以及函数的奇偶性与单调性,同时考查了命题的真假的运用,属于综合题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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