Question

7．设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）已知m，n＞0，m+n=a，求$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．
（2）根据 $\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）•$\frac{2}{3}（m+n）$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函数的减区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]，增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最小值为a=$\frac{3}{2}$．
（2）已知m，n＞0，m+n=a=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）•$\frac{2}{3}（m+n）$=$\frac{2}{3}$[1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4]=$\frac{10}{3}$+$\frac{2}{3}$（$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$）
≥$\frac{10}{3}$+$\frac{2}{3}$•2$\sqrt{4}$=6，当且仅当$\frac{4m}{n}$=$\frac{n}{m}$时，取等号，
故$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为6．

点评 本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题．