Question

已知点在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函数f（x），g（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．
（2）由定义进行证明即可；
由于两个函数在第一象限一个是减函数一个是增函数，故可令两者相等，解出它们的交点坐标，再由函数的单调性得出f（x）≤g（x）的解集，由于两函数都是偶函数，可由对称性得出函数在（-∞，0）上的解集，取两者的并集即得不等式f（x）≤g（x）的解集，即得所求的x的取值范围．
解答：解：（1）由题易得f（x）=x² ，g（x）=x^-2
（2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
证明：任取x₁＜x₂＜0，有
∵x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x₁＜x₂，有
∵x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x² =x^-2，解得x=1，又f（x）=x² 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x^-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）
点评：本题考查幂函数单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，且能根据其性质进行运算，本题考查到了函数的单调性的证明方法定义法，要注意证明的步骤