Question

已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程．
（1）l′与l平行且过点（-1，3）；
（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
（3）l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．

Answer 1

分析：（1）根据平行直线的斜率相等，先求出斜率，点斜式求得直线方程．
（2）根据垂直关系求出直线的额斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标轴围成的三角形面积为4 求出截距，
即得直线方程．
（3）利用l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，l′与l关于原点对称，故把直线l方程中的 x换成-x，
y换成-y，即得l′的方程．

解答：解：（1）直线l：3x+4y-12=0，k_l=-

3

4

，又∵l′∥l，∴k_l′=k_l =-

3

4

．
∴直线l′：y=-

3

4

（x+1）+3，即 3x+4y-9=0．
（2）∵l′⊥l，∴l′的 k_l′=

4

3

． 设l′在y轴上截距为b，则l′的方程为 y=

4

3

x+b，故它在x轴上截距为-

3

4

 b，
由题意可知，S=

1

2

|b|•|-

3

4

b|=4，∴b=±

4

3

6

．
∴直线l′：y=

4

3

x+

4

3

6

，或 y=

4

3

x-

4

3

6

．
（3）∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，∴l′与l关于原点对称．
在l上任取点（x₀，y₀），则在l′上对称点为（x，y）．
x=-x₀，y=-y₀，则-3x-4y-12=0．
∴l′为  3x+4y+12=0．

点评：本题考查两直线平行和垂直的性质，两平行直线的斜率相等，两垂直直线的斜率之积等于-1，
以及关于原点对称的直线方程的求法．