Question

【题目】设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0 ， 则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+ 在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（0， ）
C.[ ，+∞）
D.（﹣∞， ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：依题意，存在x∈[1，4]，
使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+ =0，
当x=1时，使F（1）= ≠0；
当x≠1时，解得a= ，
∴a′= =0，
得x=2或x= ，（ ＜1，舍去），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	﹣
a	↗	最大值	↘

∴当x=2时，a最大= = ，
所以常数a的取值范围是（﹣∞， ]，
故选：D．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．