Question

某同学在研究函数f（x）=x²e^x的性质时，得到如下的结论：

①f（x）的单调递减区间是（﹣2，0）；

②f（x）无最小值，无最大值

③f（x）的图象与它在（0，0）处切线有两个交点

④f（x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点

其中正确结论的序号是　　．

Answer 1

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

专题：

综合题；导数的概念及应用．

分析：

①求导函数，令f′（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；

②令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间，即可得到结论；

③求得函数在（0，0）处切线方程，结合f（x）=x²e^x＞0，可得结论；

④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点．

解答：

解：求导函数，可得f′（x）=x²e^x=（2x+x²）e^x，

①令f′（x）＜0，可得2x+x²＜0，∴﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递减区间是（﹣2，0），即①正确；

②令f′（x）＞0，可得2x+x²＞0，∴x＜﹣2或x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），∴函数在x=﹣2处取得极大值，且为最大值；在x=0处取得极小值，且为最小值，即②不正确；

③f′（0）=0，f（0）=0，则函数在（0，0）处切线方程为y=0，∵f（x）=x²e^x＞0，∴f（x）的图象与它在（0，0）处切线有一个交点（0，0），即③不正确；

④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点，即④正确，

综上可知，正确结论的序号是①④

故答案为：①④

点评：

本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．