Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函数y=2[f（x）]²+3mf（x）+1有8个不同的零点，则实数m的取值范围是（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

Answer 1

分析 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，确定m的取值范围．

解答 先画出f（x）的图象，如下图：

令t=f（x），原方程2[f（x）]²+3mf（x）+1=0可化为：
2t²+3mt+1=0，------------①
由图可知，方程f（x）=t对于每个属于（0，1）的t都有四个解，
因此，要使原函数有8个不同的零点，则关于t的方程①在（0，1）内有两个相异的实根，
根据一元二次方程实根分布，问题等价为：
$\left\{\begin{array}{l}{△=9m^2-8＞0}\\{-\frac{3m}{4}∈（0，1）}\\{2+3m+1＞0}\end{array}\right.$，解得，m∈（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
答案为：（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

点评 本题主要考查了复合函数零点的个数，一元二次方程的实根分布，以及换元法和数形结合法的解题思想，属中档题．