Question

在△ABC中，已知cosA=

4

5

，sin(B-A)=

3

5

，求sinB的值．

Answer 1

分析：根据A为三角形的角得到A的范围，然后由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；再由sin（B-A）的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos（B-A）的值，发现cos（B-A）的值有两种情况，大于0和小于0，然后把所求的sinB里的角变为A+（B-A），然后利用两角和的正弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：在△ABC中，cosA=

4

5

，
∴sinA=

3

5

．
又sin（B-A）=

3

5

，
∴0＜B-A＜π．
∴cos（B-A）=

4

5

，或cos（B-A）=-

4

5

．
若cos（B-A）=

4

5

，
则sinB=sin[A+（B-A）]=sinAcos（B-A）+cosAsin（B-A）=

3

5

•

4

5

+

4

5

•

3

5

=

24

25

．
若cos（B-A）=-

4

5

，
则sinB=sin[A+（B-A）]=sinAcos（B-A）+cosAsin（B-A）=

3

5

•(-

4

5

)+

4

5

•

3

5

=0（舍去）．
综上所述，得sinB=

24

25

．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意cos（B-A）可以取两值，所以必须进行分类讨论．