Question

15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π，x∈R）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{8}{π}$x₀）=-1，x₀∈（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），求sinx₀的值．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A=4，由周期可得ω=$\frac{π}{8}$，代点（-2，0）可得φ=-$\frac{3π}{4}$，可得解析式；
（2）由题意可得sin（x₀-$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，由同角三角函数基本关系可得cos（x₀-$\frac{3π}{4}$），代入sinx₀=sin[（x₀-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{3π}{4}$]=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x₀-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（x₀-$\frac{3π}{4}$），计算可得．

解答 解：（1）由图象可得A=4，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=6-（-2），
解得ω=$\frac{π}{8}$，∴f（x）=4sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
代点（-2，0）可得0=4sin（-$\frac{π}{4}$+φ），
结合|φ|＜π可得φ=-$\frac{3π}{4}$，或φ=$\frac{π}{4}$，
结合图象可知φ=$\frac{π}{4}$不合题意，应舍去，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）；
（2）∵f（$\frac{8}{π}$x₀）=4sin（x₀-$\frac{3π}{4}$）=-1，∴sin（x₀-$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，
∵x₀∈（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），∴x₀-$\frac{3π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴cos（x₀-$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（{x}_{0}-\frac{3π}{4}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴sinx₀=sin[（x₀-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{3π}{4}$]=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x₀-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（x₀-$\frac{3π}{4}$）
=$-\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{1}{4}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{30}}{8}$

点评 本题考查正弦函数的图象和解析式，涉及两角和与差的三角函数公式，属中档题．