Question

10．已知定义在N^*上的单调增函数y=f（x），对于任意的n∈N^*，都有f（n）∈N^*且f（f（n））=3n恒成立，则f（2017）-f（1999）=18．

Answer 1

分析 依次令n=1、2、3、4…，分别计算f（1）、f（2）、f（3）、f（4）…，根据规律归纳f（x）的解析式即可计算出答案．

解答 解：令n=1得f（f（1））=3，
若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾；
若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，与f（x）是增函数矛盾；
同理f（1）不可能大于3，
∴f（1）=2，
∴f（f（1））=f（2）=3，
令n=2得f（f（2））=f（3）=6，
令n=3得f（f（3））=f（6）=9，
∴f（4）=7，f（5）=8．
令n=4得f（f（4））=f（7）=12，
令n=5得f（f（5））=f（8）=15，
令n=6得f（f（6））=f（9）=18，
令n=7得f（f（7））=f（12）=21，
∴f（10）=19，f（11）=20，
令n=8得f（f（8））=f（15）=24，
∴f（13）=22，f（14）=22
…
归纳可得：当n≥9时，f（n）=n+9，
∴f（2017）-f（1999）=（2017+9）-（1999+9）=18．
故答案为18．

点评 本题考查了抽象函数的函数值计算，归纳推理，属于中档题．