【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线
、
,其中直线
交椭圆于
两点,直线
交直线
于
点,求证:直线
平分线段
.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)利用,得到
,然后代入点
即可求解
(2)设直线,以斜率为核心参数,与椭圆联立方程,把
两点全部用参数
表示,得出
的中点坐标为
,然后再求出直线
的方程,代入
的中点即可证明成立
(1)由得
,所以
由点在椭圆上得
解得
,
所求椭圆方程为
(2)解法一:当直线的斜率不存在时,直线
平分线段
成立
当直线的斜率存在时,设直线
方程为
,
联立方程得,消去
得
因为过焦点,所以
恒成立,设
,
,
则,
所以的中点坐标为
直线方程为
,
,可得
,
所以直线方程为
,
满足直线
方程,即
平分线段
综上所述,直线平分线段
(2)解法二:因为直线与
有交点,所以直线
的斜率不能为0,
可设直线方程为
,
联立方程得,消去
得
因为过焦点,所以
恒成立,设
,
,
,
所以的中点坐标为
直线方程为
,
,由题可得
,
所以直线方程为
,
满足直线
方程,即
平分线段
综上所述,直线平分线段
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点.
(1)求证:VA∥平面BDE;
(2)求证:平面VAC⊥平面BDE.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点,若直线
与曲线
相交于
、
两点,求
的值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径均为1,母线长均为3,记过圆锥轴的平面为平面
(
与两个圆锥侧面的交线为
),用平行于
的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线
的一部分,且双曲线
的两条渐近线分别平行于
,则双曲线
的离心率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测,一共抽取了
件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标
有关,具体见下表.
质量指标 | |||
频数 | |||
一年内所需维护次数 |
(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值(保留两位小数);
(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品,再从
件产品中随机抽取
件产品,求这
件产品的指标
都在
内的概率;
(3)已知该厂产品的维护费用为元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加
元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这
件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?
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