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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线,其中直线交椭圆于两点,直线交直线点,求证:直线平分线段.

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

1)利用,得到,然后代入点即可求解

2)设直线,以斜率为核心参数,与椭圆联立方程,把两点全部用参数表示,得出的中点坐标为,然后再求出直线的方程,代入的中点即可证明成立

(1)由,所以

由点在椭圆上得解得

所求椭圆方程为

(2)解法一:当直线的斜率不存在时,直线平分线段成立

当直线的斜率存在时,设直线方程为

联立方程得,消去

因为过焦点,所以恒成立,设

所以的中点坐标为

直线方程为,可得

所以直线方程为

满足直线方程,即平分线段

综上所述,直线平分线段

(2)解法二:因为直线有交点,所以直线的斜率不能为0,

可设直线方程为

联立方程得,消去

因为过焦点,所以恒成立,设

所以的中点坐标为

直线方程为,由题可得

所以直线方程为

满足直线方程,即平分线段

综上所述,直线平分线段

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质量指标

频数

一年内所需维护次数

(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值(保留两位小数);

(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品,再从件产品中随机抽取件产品,求这件产品的指标都在内的概率;

(3)已知该厂产品的维护费用为元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?

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