Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=

1

2

，证明：x，y，z∈[0，

2

3

]．

Answer 1

分析：证法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=

1

2

，得x²+y²+（1-x-y）²=

1

2

，整理成关于y的一元二次方程得：2y²-2（1-x）y+2x²-2x+

1

2

=0，根据y∈R，故△≥0；
证法二：构造新变量．设x=

1

3

+x′，y=

1

3

+y′，z=

1

3

+z′，则x′+y′+z′=0，于是

1

2

=x²+y²+z²=

1

3

+

3

2

x′²，从而可证；
证法三：反证法．设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x²＞0，

1

2

=x²+y²+z²≥x²+

(y+z)2

2

=

(1-x)2

2

+x2=

3

2

x2-x+

1

2

＞

1

2

，矛盾；x、y、z三数中若有最大者大于

2

3

，同理可得．

解答：证法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=

1

2

，得x²+y²+（1-x-y）²=

1

2

，整理成关于y的一元二次方程得：
2y²-2（1-x）y+2x²-2x+

1

2

=0，∵y∈R，故△≥0
∴4（1-x）²-4×2（2x²-2x+

1

2

）≥0，得0≤x≤

2

3

，∴x∈[0，

2

3

]
同理可得y，z∈[0，

2

3

]
证法二：设x=

1

3

+x′，y=

1

3

+y′，z=

1

3

+z′，则x′+y′+z′=0，
于是

1

2

=（

1

3

+x′）²+（

1

3

+y′）²+（

1

3

+z′）²
=

1

3

+x′²+y′²+z′²+

2

3

（x′+y′+z′）
=

1

3

+x′²+y′²+z′²≥

1

3

+x′²+

(y′+z′)2

2

=

1

3

+

3

2

x′²
故x′²≤

1

9

，x′∈[-

1

3

，

1

3

]，x∈[0，

2

3

]，
同理y，z∈[0，

2

3

]
证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x²＞0，

1

2

=x²+y²+z²≥x²+

(y+z)2

2

=

(1-x)2

2

+x2=

3

2

x2-x+

1

2

＞

1

2

，矛盾．
x、y、z三数中若有最大者大于

2

3

，不妨设x＞

2

3

，则

1

2

=x²+y²+z²≥x²+

(y+z)2

2

=x²+

(1-x)2

2

=

3

2

x²-x+

1

2

=

3

2

x（x-

2

3

）+

1

2

＞

1

2

，矛盾．
故x、y、z∈[0，

2

3

]

点评：本题以条件等式为载体，考查不等式的证明，考查反证法的运用，考查构造法证明不等式，综合性强．