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已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.

(1)试求函数f(x)的解析式;

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

(1) f(x)=x+, (2) y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称


解析:

(1)∵f(x)是奇函数,

f(-x)=-f(x),即

c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2

当且仅当x=时等号成立,于是2=2,∴a=b2,             

f(1)<,∴2b2-5b+2<0,解得b<2,又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.

(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则

消去y0x02-2x0-1=0,x0=1±.

y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称. 

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已知函数y=f(x+
1
2
)
为奇函数,设g(x)=f(x)+1,则g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)
=(  )
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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lnx
x

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1
e
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f(x)
ex
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1-x3
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