Question

平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD．

Answer 1

证明：连接AC、BD交与一点O，连接PO，PA、PC、PB、PD，
则由PA=PB=PC=PD，所以三角形PAC为等腰三角形，
O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可以证明PO⊥BD，
又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，
而AB?平面ABCD，BD?平面ABCD，从而PO垂直于AB、AD．
分析：要证明PO垂直于AB、AD，只需证明PO垂直于平行四边形ABCD所在平面即可，由PA=PB=PC=PD，可以证明三角形PAC、PBD为等腰三角形，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，因此，可以得到PO⊥AC，PO⊥BD，从而可以证明结论．
点评：本题考查线线垂直的证明，将其转化为线面垂直来证明，这也是证明线线关系、线面关系常用的方法．