Question

【题目】已知直线与圆C：相交，截得的弦长为.

（1）求圆C的方程；

（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线与圆C相切；

（3）若函数图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线和都与圆C相切，判断线与圆C的位置关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）直线与圆C相切；证明见解析；

【解析】

（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得，得圆方程；

（2）求出过原点的圆的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证；

（3）设，，，由此写出直线的方程，由直线与圆相切得出的关系，可得；，然后可证直线也与圆相切．

（1）解：圆C：，可化为圆，

圆心到直线的距离，

∵截得的弦长为，

∴，

∴，

∴圆C的方程为；

（2）证明：设过原点O的切线方程为，即，

圆心到直线的距离，∴，

∴设过原点O的切线方程为，

与函数，联立可得，∴与圆C相切；

（3）解：设，，，可得，

直线的方程为，即为，

同理可得，直线的方程为，

直线的方程为，

∵直线和都与圆C相切，

∴，，即为，

，即有b，c为方程的两根，

可得；，

由圆心到直线的距离为，

则直线与圆C相切.