Question

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3.求过O，A，B三点的圆的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x2＋y2－x－y＝0.

【解析】(1)由题意，设椭圆C：＝1(a＞b＞0)，则2a＝4，a＝2.

因为点(2，1)在椭圆＝1上，所以＋＝1，解得b＝.

所以所求椭圆的方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．点F的坐标为F(3，0)．

则＝3.，得即①

又点A，B在椭圆C上，所以解得?

所以B ，代入①，得点A的坐标为(2，－)．

因为·＝0，所以OA⊥AB.

所以过O，A，B三点的圆就是以OB为直径的圆．

其方程为x2＋y2－x－y＝0.