Question

【题目】如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3， DC=2．

（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC= ，求△ADC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：设∠BAD=α，∠DAC=β．

因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，

所以tanα= ，tanβ= ，

所以tan∠BAC=tan（α+β）= = =1．

又∠BAC∈（0，π），

所以∠BAC=

（2）解：设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC= ，AD=6，BD=3．

由正弦定理得 = ，解得sinα= ．

因为AD＞BD，

所以α为锐角，从而cosα= = ．

因此sin∠ADC=sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin = （ + ）= ．

△ADC的面积S= ×AD×DCsin∠ADC= ×6×2× = （1+ ）

【解析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα= ，tanβ= ，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC的值．（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα= ，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．