Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a为实常数且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f(x)≥

a

2

对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数研究函数的单调区间．先求函数的导数，再看当x取什么值时，导数大于0，当x取什么值时，导数小于0，从而得到函数的单调区间．
（II）因由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞所以此时f（x）无最小值，不合题意，故只要考虑当a＜0时的情形即可，欲使得f(x)≥

a

2

恒成立，只须

a

2

小于等于f（x）的最小值即可，由此得不等式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x+1

+2(x+1)=

2(x+1)2+a

x+1

（2分）
因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0
当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分）
当a＜0时，2（x+1）²＞-a，即x＞-1+

- a 2

时f′（x）＞0，
此时f（x）的单增区间为(-1+

- a 2

，+∞)（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞
所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分）
当a＜0时，f（x）在(-1，-1+

- a 2

)上单调减，在(-1+

- a 2

，+∞)上增，
所以f(x)≥

a

2

恒成立，即f(-1+

- a 2

)≥

a

2

?aln

- a 2

+(

- a 2

)2≥

a

2

（10分）
?ln

- a 2

≤1，得0＜

- a 2

≤e?-2e2≤a＜0.（12分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题、函数的单调性及单调区间等知识．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题得到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．