Question

设函数f（x）=|x²-2x-3|
（1）求函数f（x）的零点；
（2）在坐标系中画出函数f（x）的图象；
（3）讨论方程|x²-2x-3|=k（k∈R）解的情况．

Answer 1

解：（1）令f（x）=|x²-2x-3|=0
即x²-2x-3=0
解得x=-1，或x=3
即函数f（x）的零点为-1和3
（2）函数f（x）的图象如图所示

（3）由（2）得
当k＜0时，f（x）=|x²-2x-3|的图象与y=k无交点，则方程|x²-2x-3|=k无根；
当k=0，或k＞4时，f（x）=|x²-2x-3|的图象与y=k有两个交点，则方程|x²-2x-3|=k有两根；
当0＜k＜4时，f（x）=|x²-2x-3|的图象与y=k有四个交点，则方程|x²-2x-3|=k有四根；
当k=4时，f（x）=|x²-2x-3|的图象与y=k有三个交点，则方程|x²-2x-3|=k有三根．
分析：（1）根据方程零点与方程根之间的关系，解方程|x²-2x-3|=0，即可求出函数f（x）的零点；
（2）根据二次函数的图象和性质及对折变换法则，我们易画出函数f（x）的图象；
（3）根据（2）中的图象，分别讨论f（x）=|x²-2x-3|的图象与y=k交点的个数，即可得到方程|x²-2x-3|=k的解的情况．
点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数的零点，根的存在性及根的个数的判断，其中（3）中的数形结合是高中的第一大数学思想，要引起大家的重视．