Question

将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=

(梯形的周长)2

梯形的面积

，则S的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；
方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．

解答：解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=

(3-x)2

1 2 •(x+1)• 3 2 •(1-x)

=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

(0＜x＜1)
（方法一）利用导数求函数最小值．S(x)=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

，
S′(x)=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

S′(x)=0，0＜x＜1，x=

1

3

，
当x∈(0，

1

3

]时，S′（x）＜0，递减；当x∈[

1

3

，1)时，S′（x）＞0，递增；
故当x=

1

3

时，S的最小值是

32 3

3

．
（方法二）利用函数的方法求最小值．
令3-x=t，t∈(2，3)，

1

t

∈(

1

3

，

1

2

)，
则：S=

4

3

•

t2

-t2+6t-8

=

4

3

•

1

- 8 t2 + 6 t -1

故当

1

t

=

3

8

，x=

1

3

时，S的最小值是

32 3

3

．

点评：考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．