Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：

(1)DF⊥AP.

(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）取AB的中点E，连结EF，则PA∥EF.由题意可得DE2＝EF2＋DF2，从而DF⊥EF，结合EF∥PA，可证得DF⊥PA.（2）猜想当G点是AD的中点，满足GF⊥平面PBC。连PG、BG，可得GF⊥PB，又由条件可得GF⊥BC，从而可证得GF⊥平面PBC，从而得到假设成立。

试题解析：

(1)取AB的中点E，连结EF，则PA∥EF.

设PD＝DC＝a，

易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.

由于DE2＝EF2＋DF2，

故DF⊥EF，

又EF∥PA，

∴DF⊥PA.

(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．

取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.

又F为PB的中点，故GF⊥PB.

∵F为PB中点，

∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，

∴GO为GF在平面ABCD上的射影，

∵GO⊥BC，

∴GF⊥BC，

又BC∩PB=B，

∴GF⊥平面PBC.