Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，a=2．
（1）求角B的大小；
（2）若b²=ac，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知得：sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质可求B的值．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，结合b²=ac，可求a=c=2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，可得：sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），可得：B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，
又∵b²=ac，
∴a²+c²-ac=ac，可得：a=c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．