Question

等比数列{a_n}为递增数列，且a4=

2

3

，a3+a5=

20

9

，数列bn=log3

an

2

（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n及其最小值；
（2）若T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1，求T_n的最小值．

Answer 1

（1）设等比数列的首项a₁，公比为q
则由已知可得，a3(1+q2)=

20

9

，a3q=

2

3

两式相除可得，

1+q2

q

=

10

3

即3q²-10q+3=0
∴q=

1

3

或q=3
∵数列{a_n}为递增数列且a4=

2

3

∴q=3
∴an=a4•qn-4=

2

3

×3n-4=2•3^n-5
∴bn=log3

an

2

=n-5
∴sn=

-4+n-5

2

•n=

n(n-9)

2

由b_n≤0可得n≤5
（S_n）_min=s₄=s₅=

-4×5

2

=-10
（2）∵b2n-1=2^n-1-5
∴T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-5n
=

1-2n

1-2

-5n
=2ⁿ-5n-1
∴Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=T_n-T_n-1=2^n-1-5＞0
∴n≥4
即有T₁＞T₂＞T₃＜T₄＜T₅＜…
∴（T_n）_min=T₃=2³-5×3-1=-8