Question

1．如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求0E与BF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 连结CE，取CE中点G，连结FG、BG，则FG∥OE，∠BFG是0E与BF所成角，由此利用余弦定理能求出0E与BF所成角的余弦值．

解答 解：连结CE，取CE中点G，连结FG、BG，
∵空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，
∴FG∥OE，∴∠BFG是0E与BF所成角，
设AB=2，则OE=CE=BF=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
GF=EG=$\frac{1}{2}OE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
BG=$\sqrt{G{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠BFG=$\frac{B{F}^{2}+F{G}^{2}-B{G}^{2}}{2×BF×FG}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∴0E与BF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．